Grade 11 Math contest question

[netliterature]

多项式 f(x) 对所有实数x 满足
f(x)-f(x-2) = (2x-1)^2.
p 是f(x) 的 x^2的系数, q 是f(x) 的x 的系数.

求 p + q.
时间：3分钟

Polynomial f(x) satisfies
f(x)-f(x-2) = (2x-1)^2 for x in R.
p and q are the coefficients of x^2 and x, respectively, in f(x). Then

what is p + q?

(Finish in 3 minutes)

[卡城房奴]

整个中文版的吧。

[sky007]

p + q = 2

[netliterature]

答案是5/6。

[netliterature]

作者: 卡城房奴

整个中文版的吧。

加了中文版。

[驴是的念来过倒]

根据f(x)-f(x-2)是二次多项式这个条件，可以知道f是三次多项式。假设
f(x)=ax^3+px^2+qx+b
算出f(x)-f(x-2), 在和(2x-1)^2比系数，就可以算出p和q.
快一点的方法是：
用x=1代入条件方程，得到f(1)-f(-1)=2a+2q=1
用x=0代入条件方程，得到f(0)-f(-2)=8a-4p+2q=1
用x=2代入条件方程，得到f(2)-f(0)=8a+4p+2q=9
三个方程解三个未知数。p=1,q=-1/6
不知道楼主有没有更快的方法。
谢谢楼主的智力题，给俺们这个快要生锈的脑子加点润滑剂。

[calgaryly]

倒过来念的是驴

[netliterature]

作者: 驴是的念来过倒

根据f(x)-f(x-2)是二次多项式这个条件，可以知道f是三次多项式。假设
f(x)=ax^3+px^2+qx+b
算出f(x)-f(x-2), 在和(2x-1)^2比系数，就可以算出p和q.
快一点的方法是：
用x=1代入条件方程，得到f(1)-f(-1)=2a+2q=1
用x=0代入...

就这么解了。快不起来了。

[underdog00]

作者: 驴是的念来过倒

根据f(x)-f(x-2)是二次多项式这个条件，可以知道f是三次多项式。

why? Can you prove it??

[旅行家]

我觉得 P+Q=1（P=Q=0.5)

[fdq50]

作者: underdog00

why? Can you prove it??

这个是显然的，可以证明，但没必要。我想此题可以用求导来解。
令f(x)=ax3+px2+qx+b
f(x)'=3ax2+2px+q
f(x)"=6ax+2p
f(x)'-f(x-2)'=12ax+4p-12a=8x-4
f(x)"-f(x-2)"=12a=8
a=2/3
p=1
f(1)-f(-1)=2a+2q=1
q=-1/6

[netliterature]

作者: underdog00

why? Can you prove it??

If f(x) has a degree of 1 or 2, then f(x)-f(x-2) will have a degree which is less than 2;

If f(x) has a degree 4 or more, then f(x)-f(x-2) will have a degree which is greater than 2.

[netliterature]

作者: fdq50

这个是显然的，可以证明，但没必要。我想此题可以用求导来解。

Great idea!

Grade 11-Math 20-They have not learned Calculus yet.

[fdq50]

作者: netliterature

Grade 11-Math 20-They have not learned Calculus yet.

要在高中数学竞赛里脱颖而出，不学简单的微积分根本就上不了台面。